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artem_tmm
Asked:2024-02-05 18:11:07 +0800 CST2024-02-05 18:11:07 +0800 CST

在空间中旋转线段

  • 772

输入是空间中的一些随机线段，其两端的坐标为 p1(x1,y1,z1) 和 p2(x2,y2,z2)。

任务如下 - 有必要对其坐标进行此类转换，使其严格垂直，同时保持其长度。图片中的演示（绿色 - 原始，蓝色 - 旋转）。

在此输入图像描述

  1. 这个想法是取原始线段上的任意点（用 A1 表示），并添加第二个点 (A2)，该点比点 A1 高出原始线段的长度。但这是行不通的，因为我们应用于该段以旋转它的变换将应用于其他 3D 对象。

  2. 还有一个想法是计算线段与所有轴（x、y、z）之间的角度，然后将线段的所有坐标依次乘以沿所有轴的旋转矩阵。但执行此操作后的新段并没有达到预期（看起来不直）。

这里我将坐标依次乘以这3个矩阵在此输入图像描述

预先知道角度 alpha、beta、gamma 为 45 度，可以检查角度是否取正确，图中（绿色部分），例如坐标为 p1(0,0,0) p2(1 ,1,1) 被取

尝试实现获取旋转矩阵的算法：

import numpy as np

# нормализовать вектор (привести к единичной длине)
def normalize_vector(vector):
    norm_v = np.linalg.norm(vector)
    if norm_v != 0:
        return vector / norm_v
    else:
        return vector

# Исходные данные задачи (2 конца отрезка)
x = np.array([0,0,0])
y = np.array([1,1,1])

#нормализуем вектора
x = normalize_vector(x)
y = normalize_vector(y)

# необходимые вектора для решения задачи
s = np.array([y[0] - x[0],y[1] - x[1],y[2] - x[2]])
t = np.array([0,1,0])
a = np.cross(s,t)

#нормализуем вектора
s = normalize_vector(s)
t = normalize_vector(t)
a = normalize_vector(a)

# матрицы
S = np.array([s, a, np.cross(s,a)])
T = np.array([t, a, np.cross(t,a)])

#транспонированная S
S_t = np.transpose(S)

# получаем решение задачи
solution = np.dot(S_t, T)

# тестируем, пробуем получить повернутый отрезок
x = np.array([[0,0,0]])
y = np.array([[1,1,1]])
x = np.dot(x, solution)
y = np.dot(y, solution)
x = np.round(x, decimals=2)
y = np.round(y, decimals=2)

print(x, y)
геометрия

2 个回答

  1. 将平移矩阵应用到(-A1.x, -A1.y, -A1.z)
    原点处的 Now A1

    我们应用围绕 OZ 轴一定角度的旋转矩阵。f=atan2(A1.y-A2.y,A1.x-A2.x)
    现在向量位于 OXZ 平面中

    应用绕 OY 轴一定角度的旋转矩阵。t=acos((A1.z-A2.z)/Len(A)) 现在向量共线 OZ

    如有需要，请转回(A1.x, A1.y, A1.z)

    （检查角度标志，我可能犯了一个错误）

    • 1
  2. Best Answer

    所有向量进一步减少到单位长度。这很重要。

    我们引入向量s = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 )。

    向量t = (0, 1, 0)。矢量a = s × t - 矢量积（这将是旋转轴）。

    我们将根据向量组装两个矩阵： S = (s, a, s × a)和T = (t, a, t × a)。“让我们收集”意味着第一个向量成为矩阵的第一列，第二个向量成为第二列，第三个向量成为第三列。

    您需要的旋转矩阵是S -1 ·T。

    PS代数是在向量为行向量的假设下编写的，即向量乘以矩阵计算为v·M。如果向量是列向量，则矩阵的“组合”从列变为行，最后的乘积的形式为：T·S -1。

    PPS如果归一化前向量a的长度接近于零，则向量s已经几乎是垂直的。你不必标准化，你可以立即返回单位矩阵。

    PPPS解决此类问题的一般方法：为初始位置和最终位置提出两个正交基。从底创建两个矩阵。反转第一个并乘以第二个 - 您将得到基数之间的转换矩阵，这就是您所需要的。

    PPPPS问题可以通过多种方式解决，这种解决方案是周转最短的。

    PPPPS演示：

    import numpy as np


def normalized(v):
    return v / np.linalg.norm(v)


def get_rotation(x, y):
    s = normalized(y - x)
    t = np.array([0, 1, 0])

    a = np.cross(s, t)
    an = np.linalg.norm(a)
    if an == 0:
        return np.identity(3)
    a /= an

    sm = np.array([s, a, np.cross(s, a)])
    tm = np.array([t, a, np.cross(t, a)])
    return np.dot(np.transpose(sm), tm)


def test(x, y):
    print()
    print('x', x)
    print('y', y)

    r = get_rotation(x, y)
    
    # чистый поворот, но он смещает x
    # xm = np.dot(x, r)
    # ym = np.dot(y, r)

    # поворот вокруг x, x остаётся на месте
    xm = x
    ym = x + np.dot(y - x, r)

    print('xm', xm)
    print('ym', ym)
    print('ym - xm', ym - xm)
    print('norm(y - x)', np.linalg.norm(y - x))


test(np.array([0, 0, 0]), np.array([1, 1, 1]))
for _ in range(5):
    test(np.random.random(3), np.random.random(3))

    $ python motion.py

x [0 0 0]
y [1 1 1]
xm [0 0 0]
ym [8.32667268e-17 1.73205081e+00 1.11022302e-16]
ym - xm [8.32667268e-17 1.73205081e+00 1.11022302e-16]
norm(y - x) 1.7320508075688772

x [0.09054937 0.25113354 0.84059327]
y [0.66784923 0.45813704 0.97364723]
xm [0.09054937 0.25113354 0.84059327]
ym [0.09054937 0.87869146 0.84059327]
ym - xm [-1.38777878e-17  6.27557916e-01  0.00000000e+00]
norm(y - x) 0.627557915509163

x [0.45851044 0.61577351 0.9463866 ]
y [0.79713568 0.81397556 0.91020798]
xm [0.45851044 0.61577351 0.9463866 ]
ym [0.45851044 1.00980396 0.9463866 ]
ym - xm [0.         0.39403046 0.        ]
norm(y - x) 0.3940304551397485

x [0.19882745 0.59956245 0.47065679]
y [0.94670724 0.47282411 0.67784346]
xm [0.19882745 0.59956245 0.47065679]
ym [0.19882745 1.38589132 0.47065679]
ym - xm [0.         0.78632888 0.        ]
norm(y - x) 0.7863288771527435

x [0.70422901 0.08023806 0.26255832]
y [0.63219791 0.35879577 0.96748029]
xm [0.70422901 0.08023806 0.26255832]
ym [0.70422901 0.84161698 0.26255832]
ym - xm [0.         0.76137892 0.        ]
norm(y - x) 0.7613789207408871

x [0.73489304 0.54577026 0.95083131]
y [0.82219623 0.42600696 0.34361226]
xm [0.73489304 0.54577026 0.95083131]
ym [0.73489304 1.17081432 0.95083131]
ym - xm [0.         0.62504406 0.        ]
norm(y - x) 0.6250440595015537
    • 1

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