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Asked:2025-03-13 07:39:43 +0000 UTC2025-03-13 07:39:43 +0000 UTC

确定直线通过圆的算法

  • 772

我有一条坐标为 X1、Y1、X2、Y2 的线。有一个圆，坐标为 X3，Y3，半径为 R。

我怎样才能确定这条线是否穿过圆？只允许使用数学公式，不允许使用各种编程语言的“函数”。

математика

1 个回答

  1. Best Answer

    让我们参数化地定义这条线：对于任意的t ，点(xt , yt )都位于这条线上。反之亦然，线上的任何一点都对应着某个t值：

    xt =X1 + (X2 - X1 ) t yt
    = Y1 + ( Y2 - Y1 ) t

    常用（非参数）形式的圆方程。(x, y)位于圆上当且仅当：

    (x - X 3 ) 2 + (y - Y 3 ) 2 = R 2

    我们将直线的参数方程代入圆的方程：

    (X 1 + (X 2 - X 1 )t - X 3 ) 2 + (Y 1 + (Y 2 - Y 1 )t - Y 3 ) 2 = R 2

    让我们打开括号并求解t方程：

    ((X 2 - X 1 )t + (X 1 - X 3 )) 2 + ((Y 2 - Y 1 )t + (Y 1 - Y 3 )) 2 = R 2

    (X 2 - X 1 ) 2 t 2 + 2(X 2 - X 1 )(X 1 - X 3 )t + (X 1 - X 3 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 t 2 + 2(Y 2 - Y 1 )(Y 1 - Y 3 )t + (Y 1 - Y 3 ) 2 = R 2

    ((X 2 - X 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 )t 2 + 2((X 2 - X 1 )(X 1 - X 3 ) + (Y 2 - Y 1 )(Y 1 - Y 3 ))t + ((X 1 - X 3 ) 2 + (Y 1 - Y 3 ) 2 - R 2 ) = 0

    让我们指定：

    A = (X 2 - X 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2
    B = 2((X 2 - X 1 )(X 1 - X 3 ) + (Y 2 - Y 1 )(Y 1 - Y 3 ))
    C = (X 1 - X 3 ) 2 + (Y 1 - Y 3 ) 2 - R 2

    在这些符号中，方程将采用以下形式：

    当2 + Bt + C = 0 时

    这是一个二次方程，行列式为D = B 2 - 4AC。

    • 如果D < 0，则没有交集；
    • 如果D = 0，则有一个交点，线与圆相切；
    • 如果D > 0，则直线与圆在两点相交。

    如果要确定交点，则必须解方程，找到参数t的值。通过参数恢复交点，返回答案的开头。

    附言这个解决方案的令人惊奇的特性是，检查交点时不需要除法和提取根。一切都是通过加、减、乘来完成的。也就是说，如果原始数据是整数，那么只用整数就能准确地知道交集的事实。

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