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Accepted
Вячеслав
Asked:2025-04-23 11:21:16 +0000 UTC2025-04-23 11:21:16 +0000 UTC

拉格朗日方法的应用

  • 772

任务：

假设您要生产一定数量的产品，这取决于两名关键员工的工作时间，如下所示：

• 目标函数：f(x, y) = x^2 + 2y^2，其中 X 是第一个员工的工作时间，Y 是第二个员工的工作时间。

但是，您必须向这些员工支付总共20个小时的工作报酬，即：

• 约束：g(x, y) = x + y - 20 = 0

在这种情况下，您最多可以生产多少数量的商品？

问题：我正在尝试使用拉格朗日方法解决这个问题，我已经编制了一个由导数组成的方程组

from sympy import symbols,Eq,solveset,solve
x,y,w=symbols("x y w")

f_x_y= (x**2 + 2*y**2)
q=x+y-20

f_itog= f_x_y-w*q
f_diff_x=Eq(f_itog.diff(x),0)
f_diff_y=Eq(f_itog.diff(y),0)
f_diff_w=Eq(f_itog.diff(w),0)

sols=solve([f_diff_x,f_diff_y,f_diff_w],x,y,w)

但答案是错误的{λ：80/3，x：40/3，y：20/3}。必须有 x= 0 和 y= 20 只有在这种情况下 f(x, y) 才会最大。告诉我错误是什么？ （也许这不能用拉格朗日方法解决）

python

1 个回答

  1. Best Answer

    你做出了正确的决定。利用拉格朗日方法，你找到了f(x, y) = x^2 + 2y^2约束条件下函数的条件极值x + y - 20 = 0。

    函数的极值

    然而，你找到的不是性能函数的最大值，而是最小值。这也太极端了吧？

    严格来说，你的问题中的约束表述不正确。您不仅应该在线上寻找极值y = 20-x，还应该在第一象限中寻找极值x >= 0, y >= 0。

    在有限区域内寻找条件极值时，仅仅使用拉格朗日方法找到一个点是不够的；还需要计算边界与约束函数交点处的值。就您而言，这些是要点x=0, y=20和x=20, y=0。由于区域内有一个最小值，因此在边界处达到最大值。

    附言：如果你有兴趣，这里有一个绘制水平线的脚本

    import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. Зададим функцию производительности (V(x,y) = x^2 + 2y^2)
def target(x, y):
    return x**2 + 2* y**2

# 2. Создадим сетку
x = np.linspace(0, 20, 100) # X от 0 до 20, 100 точек
y = np.linspace(0, 20, 100) # Y от 0 до 20, 100 точек
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 3. Вычислим значение функции производительности на сетке
Z = target(X, Y)

# 4. Нарисуем контуры уровней
plt.figure(figsize=(6, 6)) # Размер графика в дюймах
contour = plt.contour(X, Y, Z, 20, cmap='viridis') # Нарисуем контуры в заданной цветовой гамме
plt.clabel(contour, inline=True, fontsize=8) # Добавим подписи к контурам
plt.xlabel("x") # Метка оси
plt.ylabel("y") # Метка оси
plt.title("Поиск экстремума") # Название диаграммы
plt.axis('equal') # Равные масштабы по осям
plt.colorbar() # Добавим цветовую шкалу

# 5. Проведем линию ограничений
plt.plot(x,20-x)

# 6. Точка условного экстремума
plt.plot(40/3,20/3, 'o')

# 6. Выведем график
plt.show()
    • 5

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