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Fire13nyu
Asked:2022-06-09 20:35:41 +0000 UTC2022-06-09 20:35:41 +0000 UTC

解析几何：查找椭球和圆锥切点

  • 772

给定一个点P(xp,yp,zp)和一个椭球，其半轴和中心是已知的，它的方程：x^2/a^2+y^2/a^2+z^2/b^2=1。

点 P 位于椭球外一定距离处。从 绘制的椭圆体的切线集P形成一个圆锥曲面。有必要找到这个圆锥和椭球的接触点的一般形式（很明显，这些点将属于椭圆，也就是说，问题本质上归结为找到它们之间的接触椭圆方程圆锥体和椭球体）。

是否可以通过传递到球坐标来简化这里的问题？如果是，如何进行？如果不是，那么问题是一样的。

математика

3 个回答

  1. Best Answer

    来自该点的射线锥P = (x,y,z)与椭球相接触的点的显式表达式：

    在此处输入图像描述

    这些点以参数形式给出。如果您设置omega = 2pi, 并t从 0 运行到 1，则此表达式将遍历所有必需的点。

    为了推导出这个表达式，我使用了一个符号数学系统sympy。逐步输出作为 Jupyter notebook 发布。

    这个想法很简单。我们需要切换到一个坐标系，在这个坐标系中，椭圆被转换成一个单位球体，并且点P在轴上Z 。在这种情况下，球体与圆锥体接触点的方程很容易自然地推导出来。剩下的只是将坐标转换回来。为此，我利用了sympy没有用无穷无尽的字母链四处寻找的优势。

    更新

    我在Jupyter notebook中添加了一种数值方法来计算切线椭圆。

    这个想法是C在坐标系中找到三个向量 - 切圆的中心和两个正交向量，其旋转描述了所需的圆。

    坐标系中的这些向量A形成一个正切椭圆。

    在 Python 中计算三个向量的函数（不是 Matlab 中的剪影）。

    def tangent_cone(a,b, P):
    """
    Возвращает три вектора `c,v1,v2`, определяющие эллипс, по точкам которого эллипсоид касается конус с вершиной `P`.
    
    Точки r_tan эллипса вычисляются так:
    ```
    c, v1, v2 = tangent_cone(a,b, P)
    t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
    r_tan = c.reshape(3,1) + v1.reshape(3,1)*np.cos(t) + v2.reshape(3,1)*np.sin(t)
    ```
    В этом случае r_tan - матрица из 3 строк и 100 столбцов. Первая строка - координата `x` точек, 
    вторая строка - координата `y`, третья строка - координата `z`.
    """
    assert P.ndim == 1
    assert len(P) == 3
    
    x,y,z = P
    R = np.sqrt(x**2/a**2 + y**2/a**2 + z**2/b**2)
    cos_theta = (z/b)/R
    # theta меняется от 0 до pi, поэтому sin(theta) >= 0
    sin_theta = np.sqrt(1 - cos_theta**2)
    
    sin_phi = (y/a)/(sin_theta*R)
    cos_phi = (x/a)/(sin_theta*R)
    
    center = np.array([a*cos_phi*sin_theta/R, a*sin_phi*sin_theta/R, b*cos_theta/R])
    
    r = np.sqrt(1 - 1/R**2)
    v1 = np.array([a*r*cos_phi*cos_theta, a*r*sin_phi*cos_theta, -b*r*sin_theta])
    v2 = np.array([-a*r*sin_phi, a*r*cos_phi, 0])
    
    return center, v1, v2

    要计算椭圆的点，您需要围绕点旋转矢量center：

    c, v1, v2 = tangent_cone(a,b, P)
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
r_tan = c.reshape(3,1)+v1.reshape(3,1)*np.cos(t) + v2.reshape(3,1)*np.sin(t)

    该矩阵r_tan具有三行 100 个坐标。这些线对应于坐标x和。yz

    从具有坐标的点切线到具有半轴 1 和 4 的椭球的示例(5,5,5)

    在此处输入图像描述

    • 6

  2. 由于椭球是一个以原点为中心的平板，具有短 OZ 轴，即 很简单，你可以试试直接的方法。

    如果从椭球(px, py, pz)上的一点到一点画切线(tx, ty, tz)，那么椭球在该点的法线垂直于切线，点积为零。根据 Kornov 的参考书，此时椭球表面的法线看起来像(tx/a^2, ty/a^2, tz/b^2)这样（这里我的系数可能会出错）

    (px-tx)*tx/a^2 + (py-ty)*ty/a^2 + (pz-tz)*tz/b^2 = 0
px*tx/a^2 + py*ty/a^2 + pz*tz/b^2 = tx^2/a^2 + ty^2/a^2 + tz^2/b^2

    但是右边等于一（根据原方程），所以我们得到了切割椭球的平面的方程

    px*x/a^2 + py*y/a^2 + pz*z/b^2 - 1 = 0

    为了找到截面的中心，我们用z表示，将它代入原方程，我们得到一个OXY中的椭圆，它是截面椭圆的投影。对他来说，中心不难找到，那我们就回到三维空间。

    仍然要找到椭圆的轴（未完成）

    • 0 
  3. function [] = myfunc(a,b,xc,yc,zc)
x=-20:0.1:20;
y=x; z=x;
% A - initial coordinate system; B - coordinate system, where ellipsoid is the unit sphere;
% C - coordinate system, where ellipsoid is the unit sphere and Oc is on axis Z
A2B = [1/a,0,0;0,1/a,0;0,0,1/b]; 
B2A = [a,0,0;0,a,0;0,0,b];

% translate the coordinates of the camera into a coordinate system B
OC = A2B*[xc,yc,zc]';
XC = OC(1); YC = OC(2); ZC = OC(3);

R=sqrt(x.^2/a^2+y.^2/a^2+z.^2/b^2);
theta = acos(ZC./R);
phi = acos(XC./(R.*sin(theta)));
B2C = cell(length(R));
C2B = cell(length(R));
OP = cell(length(R));
omega = 2*pi;
t = 0:0.01:1;
for k=1:length(R)
    B2C{k} = [cos(phi(k)).*cos(theta(k)),sin(phi(k)).*cos(theta(k)),-sin(theta(k));...
           -sin(theta(k)),            cos(phi(k)),                0            ;...
           sin(theta(k)).*cos(phi(k)),sin(phi(k)).*sin(theta(k)), cos(theta(k))];
       
    C2B{k} = [cos(phi(k)).*cos(theta(k)),-sin(phi(k)),sin(theta(k)).*cos(phi(k));...
           sin(phi(k)).*cos(theta(k)), cos(phi(k)),sin(phi(k)).*sin(theta(k));... 
           -sin(theta(k)),             0,          cos(theta(k))            ];
       
       
    r = sqrt(1-1/(R(k)^2));
    h = 1/R(k);
    OP{k} = B2A*C2B{k}*[r*cos(omega*t),r*sin(omega*t),h]';
end

end
    • 0

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