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Accepted
Alex March
Asked:2023-03-09 21:57:46 +0000 UTC2023-03-09 21:57:46 +0000 UTC

从 1 到 n 的所有自然数的总和

  • 772

请解释为什么？

从 1 到 n 的所有自然数的总和可以计算为 n * (n +1) / 2 。例如 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 或 5*6 / 2 = 15

所以这就是它起作用的原因？5*6 /2 = 15？

математика

3 个回答

  1. 让我们从正方形构建一个三角形：

    它的面积等于总面积。

    让我们复制它：

    让我们扩展并连接它们：

    结果我们得到：

    这个矩形的面积：n*(n+1)，而且我们用了两个图，那么三角形的面积n*(n+1)/2

    同样可以推导出平方和公式，只是在3维空间的操作比较复杂。

    • 5

  2. 创造性地

    s(n) = 1 +   2   +   3   + ... + (n-2) + (n-1) + n
s(n) = n + (n-1) + (n-2) + ... +   3   +   2   + 1

    让我们配对：

    s(n) + s(n) = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + ...
             ... + ((n-2) + 3) + ((n-1) + 2) + (n + 1)  =

= (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) =

= n * (1 + n)

    s(n) = n * (n + 1) / 2

    严格

    让我们证明s n = n(n + 1)/2对于任何非负整数n。

    归纳基础n = 0 : s 0 = 0(0 + 1)/2 = 0。

    归纳步骤：让公式对s n-1成立。计算s n：

    s n = s n-1 + n = (n - 1)((n - 1) + 1)/2 + n = ((n - 1)n + 2n)/2 = (n - 1 + 2)n /2 = n(n + 1)/2。

    Q.E.D.

    • 4
  3. Best Answer

    如果你考虑一下，金额1 + n将与2 + n-1

    例子：

    1 + 5 = 6
2 + 4 = 6

    但在这个系列中，她还有 3 件事。让我们像这样堆叠它：

    1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

    每列为 6，列为 5，即 5 * 6 = 30 如您所见，有 2 个三元组，应该有一个（通常所有数字都是 2 个），即我们必须像这样将数字分成 2：

    在此处输入图像描述

    所以我们除以 2 就可以了。

    该行仅分隔重复项：

    在此处输入图像描述

    • 1

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